Η ταλάντωση, όπως είναι γνωστό, περιγράφεται από την εξίσωση x=A·sin(ωt). To x είναι η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, το Α είναι το πλάτος, το ω είναι η κυκλική συχνότητα και το t ο χρόνος της ταλάντωσης. Αντίστοιχες χρονικές εξισώσεις υπάρχουν και για την ταχύτητα και την επιτάχυνση.
Ενδιαφέρον παρουσιάζει η ύπαρξη του παράγοντα sin(ωt) στην εξίσωση της απομάκρυνσης x και του παράγοντα cos(ωt) στην εξίσωση της ταχύτητας υ.
Το πρόβλημα της έναρξης της χρονομέτρησης:
Για t=0 οι παραπάνω τριγωνομετρικοί αριθμοί γίνονται sin(ωt)=0 και cos(ωt)=1, που σημαίνει ότι στην αρχή της χρονομέτρησης το σώμα έχει μηδενική απομάκρυνση (βρίσκεται στη θέση ισορροπίας) και κινείται προς τα θετικά (αφού cos(ωt)=θετικός αριθμός και άρα υ=θετικός αριθμός).
Τι γίνεται όμως αν το σώμα για t=0 βρίσκεται αλλού; Οι εξισώσεις θα πρέπει να «διορθωθούν» ώστε να ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα. Στη σωστή γραφή των εξισώσεων της ταλάντωσης μεγάλο ρόλο παίζει η «φάση».
Φάση είναι η γωνία που βρίσκεται μέσα στο ημίτονο και στο συνημίτονο των εξισώσεων της ταλάντωσης. Όταν η φάση φ είναι φ=ωt τότε η χρονομέτρηση ξεκινάει όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και έχει θετική ταχύτητα (που είναι η πιο απλή περίπτωση). Όταν όμως το σώμα για t=0 βρίσκεται σε άλλη θέση γιατί ΗΔΗ έχει αρχίσει να ταλαντώνεται, τότε πρέπει να διορθώσουμε την εξίσωση προσθέτοντας και μια αρχική γωνία στη φάση. Έτσι η συνολική φάση γίνεται φ=ωt+φο. Αυτό σημαίνει ότι για t=0 ισχύει ότι το sin(ωt+φο) ΔΕΝ είναι μηδέν και το cos(ωt+φο) ΔΕΝ είναι 1 και άρα μπορούμε να παρακολουθήσουμε σωστά την ταλάντωση, όπως αυτή ξεκινάει και εξελίσσεται στην πραγματικότητα.
Πώς βρίσκουμε την αρχική φάση φο:
Αν δεν μας δίνουν τις χρονικές εξισώσεις της ταλάντωσης, και πρέπει να τις κατασκευάσουμε εμείς τότε
Από το x=A·sin(ωt+φο) και για t=0 βρίσκουμε το sin(φο).
Από την κατεύθυνση του σώματος βρίσκουμε το πρόσημο της ταχύτητας και άρα, για t=0, το πρόσημο του cos(φο).
Γνωρίζοντας το ημίτονο και το πρόσημο του συνημιτόνου της αρχικής φάσης φο, μπορούμε να βρούμε αρχικά σε ποιο τεταρτημόριο είναι η φο.
Η φο ανήκει στο διάστημα [0,2π) και άρα την υπολογίζουμε ακριβώς. Μετά μπορούμε να την χρησιμοποιούμε σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης, αφού πάντα θα εμφανίζεται στην εξίσωση της φάσης φ=ωt+φο, υπενθυμίζοντάς μας ότι η ταλάντωση ξεκίνησε από τυχαίο σημείο και όχι από τη θέση ισορροπίας.
Η φάση φ είναι, όπως φαίνεται από την εξίσωσή της, κι αυτή μια χρονική συνάρτηση. Η αρχική της τιμή είναι φο και μετά αυξάνεται χρονικά. Είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου και η κλίση της ευθείας της είναι φ’(t)=dφ(t)/dt=ω.
Η χρήση της φάσης στη χρονομέτρηση:
Αν έχουμε τις χρονικές εξισώσεις μιας ταλάντωσης, τότε είναι σχετικά εύκολο να υπολογίζουμε χρονικά διαστήματα που το σώμα μετατοπίζεται από μια θέση της ταλάντωσης σε μια άλλη.
Γενικά, για να μετακινηθεί το σώμα από το ένα άκρο της ταλάντωσης στη θέση ισορροπίας, χρειάζεται χρόνο Τ/4.
Από το ένα άκρο στο άλλο χρειάζεται χρόνο Τ/2. Επίσης ο χρόνος που χρειάζεται ανάμεσα σε 2 διαδοχικά περάσματα από τη θέση ισορροπίας είναι Τ/2.
Για να βρούμε το χρόνο που χρειάζεται από μια τυχαία θέση να πάει σε μια άλλη επίσης τυχαία, χρειάζεται να δουλέψουμε με τη φάση φ.
Έστω για t1 βρίσκεται στη θέση x1 με ταχύτητα υ1. Μπορούμε από τις εξισώσεις να υπολογίσουμε το sin(φ1) και το cos(φ1) και άρα το φ1.
Αν τη χρονική στιγμή t2 πάει στη θέση x2 και έχει ταχύτητα υ2, τότε υπολογίζουμε με τον ίδιο τρόπο τη φ2.
Ισχύει Δφ=φ2-φ1=ω·Δt και έτσι βρίσκουμε το χρόνο Δt που μεσολάβησε. Αυτή τη μέθοδο μπρούμε να την ακολουθήσουμε είτε το σώμα έχει αρχική φάση φο, είτε όχι (αφού κατά την αφαίρεση φ2-φ1 το φο εξαφανίζεται).
Ιδιαίτερη σημασία βεβαίως έχει αν μεσολαβούν πολλές ταλαντώσεις ανάμεσα στα 2 σημεία. Αν ναι, τότε θα είναι Δφ=φ2-φ1=ΝΤ+ω·Δt γιατί η διαφορά Δφ θα εμπεριέχει μέσα της και Ν κύκλους, δηλαδή γωνία 2Νπ.
Παράδειγμα:
Ένα σώμα έχει περίοδο ταλάντωσης Τ=1.2sec. Κάποια χρονική στιγμή βρίσκεται στη θέση x1=-A/2 και έχει επιβράδυνση. Πόσος χρόνος μεσολαβεί μέχρι να ξαναβρεθεί για 2η φορά στο αντιδιαμετρικό σημείο x2=+A/2;
Υπολογισμός:
Για t1 ισχύει x1=A·sin(ω·t1+φο) και προκύπτει, αν αντικαταστήσουμε το x1, ότι sin(ω·t1+φο)=-1/2
Επειδή έχει επιβράδυνση, άρα κινείται προς την ακραία θέση που είναι πιο κοντά του, δηλαδή προς το –Α, και άρα έχει αρνητική ταχύτητα. Άρα cos(ω·t1+φο)<0.
Από τους τριγωνομετρικούς αριθμούς προκύπτει ότι ω·t1+φο=7π/6.
Το σώμα θα φτάσει στο άκρο –Α, θα επιστρέψει, θα περάσει τη θέση ισορροπίας, θα περάσει μια φορά από το x2=+A/2 κατευθυνόμενο στο +Α και μετά θα ξαναπεράσει από το x2=+A/2 κινούμενο και πάλι προς τη θέση ισορροπίας. Άρα τη 2η φορά που περνάει από το x2 έχει και πάλι αρνητική ταχύτητα και άρα το cos(ω·t2+φο)<0.
Με sin(ω·t2+φο)=+1/2 και cos(ω·t2+φο)<0 βρίσκουμε ότι ω·t2+φο=5π/6. Όμως ήδη το σώμα βρίσκεται στην επόμενη ταλάντωση και πρέπει να προσθέσουμε ένα κύκλο ακόμα. Συνεπώς ω·t2+φο=2π+5π/6.
Δφ=φ2-φ1=(2π+5π/6)-(7π/6)=10π/6=ω·Δt=2π·Δt/Τ.
Τελικά προκύπτει ότι Δt=5Τ/6=1sec.
Μια εφαρμογή για τη φάση (και την αρχική φάση) σε μια ταλάντωση μπορείτε να βρείτε εδώ.
