Η ενέργεια που δίνουμε στην αρχή για να ξεκινήσει μια ταλάντωση μπορεί να είναι δυο ειδών:
Είτε να δώσουμε στο σύστημα ενέργεια για να μεταφέρουμε το σώμα μακριά από τη θέση ισορροπίας του (Δυναμική Ενέργεια U), είτε να δώσουμε ταχύτητα στο σώμα ώστε να κινηθεί (Κινητική Ενέργεια Κ).
Η κινητική ενέργεια δίνεται από τον γνωστό τύπο Κ=½mυ2 και κάθε σώμα με μάζα και ταχύτητα έχει ένα ποσό τέτοιας ενέργειας.
Η δυναμική ενέργεια δίνεται από τον τύπο U=½Dx2 και είναι ενέργεια συνολική δηλαδή οφείλεται σε κάθε πιθανή δυναμική ενέργεια που έχει το σύστημα. Για παράδειγμα, ένα σώμα κρεμασμένο σε ένα ελατήριο στο πεδίο βαρύτητας, έχει δυναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης του ελατηρίου, αλλά και λόγω του πεδίου βαρύτητας. Η σύνθεσή τους μας δίνει την δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό όταν σκεφτεί κανείς ότι το x στον τύπο της δυναμικής ενέργειας, δεν το μετράμε από τη θέση του "φυσικού μήκους" του ελατηρίου (γιατί τότε θα θεωρούσαμε ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος οφείλεται ΜΟΝΟ στο ελατήριο), αλλά το μετράμε από τη θέση ισορροπίας του συστήματος και άρα στην δυναμική ενέργεια U συμπεριλαμβάνεται ΚΑΙ η δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας.
Περισσότερα για τον τρόπο μέτρησης της "απομάκρυνσης" σε σχέση με τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σύστημα ταλαντώσεων μπορείτε να βρείτε εδώ.
Στις "ελεύθερες" ταλαντώσεις, δίνουμε ενέργεια μόνο μια φορά στο σύστημα. Αυτή η αρχική ενέργεια (δυναμική, κινητική ή και τα δυο) αποτελεί την συνολική ενέργεια ταλάντωσης Ε=Κ+U. Η ενέργεια αυτή παραμένει σταθερή αν δεν υπάρχουν τριβές, και έτσι το σύστημα ταλαντώνεται συνεχώς χωρίς να σταματήσει ποτέ. Όταν το σώμα έχει μεγάλη κινητική ενέργεια, τότε η δυναμική του ενέργεια γίνεται μικρή και το αντίστροφο, ώστε το άθροισμά τους να είναι σταθερό. Αυτό σημαίνει ότι περνώντας από τη θέση ισορροπίας η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη Κmax και η δυναμική είναι U=0. Το αντίθετο συμβαίνει στις ακραίες θέσεις. Αυτό σημαίνει με τη σειρά του ότι Ε=Κmax=Umax. Κι έτσι μπορεί κανείς να υπολογίσει την ενέργεια ταλάντωσης, αν υπολογίσει είτε τη μέγιστη κινητική στη θέση ισορροπίας, είτε τη μέγιστη δυναμική στις ακραίες θέσεις.
Επειδή στις ενέργειες εμφανίζονται τα χρονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη x(t) και υ(t) που περιέχουν συνημίτονο και ημίτονο αντίστοιχα και μεταβάλλονται περιοδικά, τότε καταλαβαίνει κανείς ότι και οι ενέργιες μεταβάλλονται κι αυτές περιοδικά. Οι ενέργειες όμως είναι πάντα θετικές (αφού τα x και υ είναι υψωμένα στο τετράγωνο στους τύπους των ενεργειών). Αυτό σημαίνει ότι η δυναμική ενέργεια είναι θετική είτε το σώμα βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα της ταλάντωσης, είτε στον αρνητικό. Άρα η δυναμική ενέργεια σε κάθε ταλάντωση παίρνει όλες τις τιμές [0,Umax] στη διάρκεια ΜΙΣΗΣ ταλάντωσης, και μετά ξαναπαίρνει τις ίδιες τιμές στη διάρκεια της άλλης μισής. Το ίδιο συμβαίνει με τις τιμές της κινητικής ενέργειας Κ στο διάστημα [0,Κmax].
Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε ότι η δυναμική και η κινητική ενέργεια των ταλαντώσεων μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο με περίοδο ίση με Τ/2, δηλαδή ίση με το μισό της περιόδου της ταλάντωσης.
Αυτό αποδεικνύεται και μαθηματικά π.χ. για την δυναμική ενέργεια, ως εξής:
U=½Dx2=½DA2sin2(ωt)=½DA2[1-cos(2ωt)]/2 (τύπος αποτετραγωνισμού).
Ο όρος cos(2ωt) μπορεί να αντικατασταθεί με έναν νέο όρο cos(ω΄t) όπου ω΄=2ω και άρα f΄=2f και άρα Τ΄=Τ/2
Αν στο σύστημα δεν δώσουμε ενέργεια μόνο μια φορά, αλλά συνεχίσουμε να δίνουμε ενέργεια και κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, τότε η ταλάντωση είναι εξαναγκασμένη.
Μια εφαρμογή για τις ενέργειες στις "ελεύθερες" ταλαντώσεις (αμείωτες και φθίνουσες) μπορείτε να βρείτε εδώ.
Η δυναμική ενέργεια δίνεται από τον τύπο U=½Dx2 και είναι ενέργεια συνολική δηλαδή οφείλεται σε κάθε πιθανή δυναμική ενέργεια που έχει το σύστημα. Για παράδειγμα, ένα σώμα κρεμασμένο σε ένα ελατήριο στο πεδίο βαρύτητας, έχει δυναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης του ελατηρίου, αλλά και λόγω του πεδίου βαρύτητας. Η σύνθεσή τους μας δίνει την δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό όταν σκεφτεί κανείς ότι το x στον τύπο της δυναμικής ενέργειας, δεν το μετράμε από τη θέση του "φυσικού μήκους" του ελατηρίου (γιατί τότε θα θεωρούσαμε ότι η δυναμική ενέργεια του συστήματος οφείλεται ΜΟΝΟ στο ελατήριο), αλλά το μετράμε από τη θέση ισορροπίας του συστήματος και άρα στην δυναμική ενέργεια U συμπεριλαμβάνεται ΚΑΙ η δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας.
Περισσότερα για τον τρόπο μέτρησης της "απομάκρυνσης" σε σχέση με τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σύστημα ταλαντώσεων μπορείτε να βρείτε εδώ.
Στις "ελεύθερες" ταλαντώσεις, δίνουμε ενέργεια μόνο μια φορά στο σύστημα. Αυτή η αρχική ενέργεια (δυναμική, κινητική ή και τα δυο) αποτελεί την συνολική ενέργεια ταλάντωσης Ε=Κ+U. Η ενέργεια αυτή παραμένει σταθερή αν δεν υπάρχουν τριβές, και έτσι το σύστημα ταλαντώνεται συνεχώς χωρίς να σταματήσει ποτέ. Όταν το σώμα έχει μεγάλη κινητική ενέργεια, τότε η δυναμική του ενέργεια γίνεται μικρή και το αντίστροφο, ώστε το άθροισμά τους να είναι σταθερό. Αυτό σημαίνει ότι περνώντας από τη θέση ισορροπίας η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη Κmax και η δυναμική είναι U=0. Το αντίθετο συμβαίνει στις ακραίες θέσεις. Αυτό σημαίνει με τη σειρά του ότι Ε=Κmax=Umax. Κι έτσι μπορεί κανείς να υπολογίσει την ενέργεια ταλάντωσης, αν υπολογίσει είτε τη μέγιστη κινητική στη θέση ισορροπίας, είτε τη μέγιστη δυναμική στις ακραίες θέσεις.
Επειδή στις ενέργειες εμφανίζονται τα χρονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη x(t) και υ(t) που περιέχουν συνημίτονο και ημίτονο αντίστοιχα και μεταβάλλονται περιοδικά, τότε καταλαβαίνει κανείς ότι και οι ενέργιες μεταβάλλονται κι αυτές περιοδικά. Οι ενέργειες όμως είναι πάντα θετικές (αφού τα x και υ είναι υψωμένα στο τετράγωνο στους τύπους των ενεργειών). Αυτό σημαίνει ότι η δυναμική ενέργεια είναι θετική είτε το σώμα βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα της ταλάντωσης, είτε στον αρνητικό. Άρα η δυναμική ενέργεια σε κάθε ταλάντωση παίρνει όλες τις τιμές [0,Umax] στη διάρκεια ΜΙΣΗΣ ταλάντωσης, και μετά ξαναπαίρνει τις ίδιες τιμές στη διάρκεια της άλλης μισής. Το ίδιο συμβαίνει με τις τιμές της κινητικής ενέργειας Κ στο διάστημα [0,Κmax].
Από τα παραπάνω καταλαβαίνουμε ότι η δυναμική και η κινητική ενέργεια των ταλαντώσεων μεταβάλλονται περιοδικά με το χρόνο με περίοδο ίση με Τ/2, δηλαδή ίση με το μισό της περιόδου της ταλάντωσης.
Αυτό αποδεικνύεται και μαθηματικά π.χ. για την δυναμική ενέργεια, ως εξής:
U=½Dx2=½DA2sin2(ωt)=½DA2[1-cos(2ωt)]/2 (τύπος αποτετραγωνισμού).
Ο όρος cos(2ωt) μπορεί να αντικατασταθεί με έναν νέο όρο cos(ω΄t) όπου ω΄=2ω και άρα f΄=2f και άρα Τ΄=Τ/2
Αν στο σύστημα δεν δώσουμε ενέργεια μόνο μια φορά, αλλά συνεχίσουμε να δίνουμε ενέργεια και κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, τότε η ταλάντωση είναι εξαναγκασμένη.
Μια εφαρμογή για τις ενέργειες στις "ελεύθερες" ταλαντώσεις (αμείωτες και φθίνουσες) μπορείτε να βρείτε εδώ.
